一、关于纠错与检错
纠正数据传输中出现的错误原则上可有两种做法：一是直接采用纠错码对某些错码进行纠正；二是利用检错码（校验码）进行检错，然后对出错帧进行重传。纠错码以增加附加比特，也即降低传输效率为代价，换来纠错能力。纠错码在某些场合较有实用价值，如单工信道，由于收方即使检测到错误也不可能通知发方重传，要想保证传输内容的正确性，只好采用纠错码。在大多数情况下，采用检错码加重传的方式效率更高，特别是在通信误码率较低的场合。
最简单的检错方式为奇偶校验法，即在每个数据块上增加1个奇偶位，当数据块中出现奇数个比特错时能被检测出来，因此能检测到差错的概率只有0.5，这很难被接受。改进措施可以采取将每个数据块组成一个n位宽和k位高的长方形的矩阵来发送。按列计算奇偶并将各列的奇偶校验位放在一起，作为矩阵的最后一行，而发送时则按行进行。数据块到达时，收方检测所有的奇偶位。假若其中任何之一错了，就需要重传整个块。这样做，对非单比特突发性错（多比特连续错）在横行的发送中可能影响到数列的单个比特，而容易被相关列中的奇偶校验位检测出来。
这种方法能够检测长度为n的非单个突发性差错，长度大于n的突发性连续差错将不会被检测到（注意：一个突发性非单比特错并不是意味着所有的位都出错了，但至少第1和最后1位出错），因为每列中就可能出现偶数个比特错，该列的奇偶校验不能检查出偶比特错。假若一个块被一个长的突发干扰或多个较短突发干扰所破坏，n列中每1列的奇偶值碰巧都正确的概率为0.5，那么，这个出错块被当作正确数据接受的概率是2 -n。
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二、关于循环冗余校验码（CRC）
尽管上述策略有时已经足够了，但在实践中广泛采用的是另一种方法，即多项式编码，也叫循环冗余校验码（CRC，Cyclic Redundancy Check）。多项式码将比特串看成系数只能取0或1的多项式，因此，一个k比特帧可以看成从x k-1到x0的k项多项式的系数序列。这个多项式的阶数为k-1，高位（最左边）是x k-1的系数；下一位是x k-2的系数，依次类推。例如，110001具有6位，其中25、24和20的系数为1，相应的多项式表示为x 5+ x 4+ x 0。
1、关于模2运算：为了进行后面的讨论，先对多项式运算作一简要介绍。多项式以2为模运算，加法不进位，减法不借位。模2加法和减法实际上都是进行逻辑“异或”运算。例如下图2-1-1：
图2-1-1：以2为模运算法
多项式除法同二进制运算一样，只要被除数具有和除数同样多的位，即把除数按模2从被除数中减去（也即按模2进行加法)。
如果采用多项式编码法，发方和收方必须事先商定一个生成多项式G(x)（Generator polynomial）。生成多项式的最高位（比特）和最低位必须是1。要计算m位的帧M(x)的校验和（Checksum，也常称为帧校验序列（FCS，Frame Check Sequence）），生成多项式必须比该多项式M(x）短。其基本思想是：将校验和加在帧的末尾，使这个带校验和的帧的多项式能被G(x)除尽。显然，用G(x)除M(x)所得余数作为校验和（FCS）与M(x)一道组成的带校验和的帧一定能被G(x)整除。当收方收到该帧时，用G(x)相除，如果有余数，则表明传输有错。计算校验和的算法如下表2-1所示。
表2-1：计算校验和的算法过程
下图2-1-2演算了帧1101011011被G(x)＝x 4+x+1除而获得余数的计算过程。在图中，原始帧的比特串M(x)为：1101011011，相应的多项式为：
图2-1-2：模2除法过程
x 9+ x 8+ x 6+ x 4+ x 3+ x1 + x 0
生成多项式的比特串G(x)t：10011，相应的多项式为
x 4+ x 1+ x 0
加上4个0的帧为：11010110110000，相应的多项式为：
x 13+ x 12+ x 10+ x 8+ x 7+ x 5+ x 4
用加0后的帧除以G(x)，经上图中计算后获得的余数为：1110，加上4个0的帧与余数相加，即得到用于线路上传送的帧的比特串T(x)： 11010110111110。在任何除法问题中，如果用被除数减去余数，则剩下的部分能够被除数除尽。由于T(x)是由被除数减去余数得来的，显然能被被除数G(x)除尽（模2）。
2、CRC的检错能力分析：现在让我们来分析这种方法的检错能力，看看它能够检查出什么类型的误码。如果出现了1个突发性连续差错（Burst Errors），记作少E(x)，则收到的多项式会变成T(x)+E (x) 。突发性连续差错的特点是初始位是“1”，然后是“0”和“1”的某种组合，最后一个比特为“1”。由于E(x)中的每个“1”都会使T(x)中的对应比特变反，因此，如果E (x)中有k个“1”，即会产生k比特的差错。
由于有E(x)的存在，接收方所收到的帧，将变为带校验和的多项式T(x)与E (x)之和。收方用生成多项式G(x)去除收到的帧，即计算[T(x)+E(x)]/ G(x)。由于T(x)/ G(x)余数总是0，所以运算结果就变成E(x)/G(x)的余数。如果E(x)能被G(x)整除，余数为0。这可能有两种情况：① E(x)=0；② E(x)是G(x)的整数倍。因此，如果收方用余数为移判定传输无错，只有情况②属于判断错误；情况①则代表确无差错。
假定传输过程中只有单个比特错，即E(x) = x i (i为T(x)出错比特项次），由于G(x)内至少有两项为1，因此，E(x)/G(x)不可能余数为0，于是所有的单比特差错都能被查出。
如果发生两个孤立的单比特差错，即E(x) = x i +x j（其中i>j）。我们把E(x)改写成：
E(x)＝x j (x i-j+1)
如果我们假定G(x)不能被x j整除，那么能够发现两个比特错的充分条件是：对小于或等于i-j的最大值（即最大帧长）的任何k值，G(x)都不能除尽x k+1。已经知道一些可用于长帧纠错的简单低阶多项式。例如，对于小于32768（比特）的k值，x15+x14+1不可能整除差错多项式E(x)＝x k+1。
如果有奇数个比特错，E(x)将包括奇数个项（例如，x5+x2+1 )。由于奇数项多项式都不能被x+1按模2整除，因此，如果选用x+l的整数倍的多项式做G(x)就能查出所有奇数个比特变反的差错。为了证明项数为奇数的多项式不能被x+l整除，我们先假定E(x)为奇数项多项式，且能被x+1整除。将E(x)进行因式分解，变成(x+1)Q(x)。现在代人值E(1)=(1+1)Q(1)。因为1+1=0（模2），故E(1)=0。如果E(x)具有奇数个项，用1替换所有的x，按模2相加所产生的结果将总是1，与按上述假设计算的结果E(1)=0相矛盾。因此，奇数的多项式不能被x+l整除。
3、CRC的检错能力结论：通过上述分析得到最重要的结论是：r比特的校验码能检查出所有长度≤r的突发性连续差错。一个长度为k的突发性连续差错可以表示成x i（x k-1+…+1 )，这里项次i为突发性连续差错的结束位置距接收到的帧最低阶比特的距离（比特数）。如果G(x)包括有x0项，它将不能被x i整除，因此如果圆括号内的表达式的阶低于G(x)的阶，余数不可能为0。
如果突发性连续差错长度为r+1，当且仅当突发性连续差错E(x) 与G(x)一样时，被G(x)除的余数才可能是0。根据突发性连续差错的定义，第一位和最后一位必须是1，因此，它是否相等取决于r-1个中间比特的取值。如果所有0或1排列出现的概率均等，则将这个出错帧当作正确帧接收的概率是1/2 r-1。
可以证明：当一个长度大于r+1的突发性连续差错或几个较短的突发性连续差错发生后，假定被破坏后的帧内所有比特值为“1”或“0”出现的模式是等概率的，则一个出错帧未被检查出来的概率是1/2 r。
目前已有多个生成多项式[G(x)]被列为国际标准。其中CRC-12用作以6比特字符为基础的帧校验；其余生成多相式用于以8比特字符为基础的帧校验。使用如CRC-16或CRC-CCITT作为生成多项式所产生的16位的校验和。能查出所有的单比特错和双比特错、所有的奇数比特错、所有长度等于或小于16比特的突发性连续差错，99.99%的17比特突发性连续差错以及99.998%的18比特或18比特以上错。
尽管校验和计算看起来相当的复杂，但和提出用一种简单移位寄存器方法，用硬件来完成对校验和的检验，因而在实践中几乎都采用这种硬件来实现。
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